Kalkulator Barisan dan Deret – Aritmatika & Geometri

Gunakan kalkulator barisan dan deret untuk menghitung suku ke-n (Uₙ), jumlah n suku pertama (Sₙ), serta pola aritmatika dan geometri. Anda juga dapat menghitung deret geometri tak hingga dan memasukkan beberapa suku untuk mendeteksi apakah polanya aritmatika atau geometri.

Cara Menggunakan Kalkulator Barisan dan Deret

Pilih jenis perhitungan yang sesuai dengan soal.

Gunakan Barisan Aritmatika jika setiap suku memiliki selisih atau beda yang tetap.

Gunakan Barisan Geometri jika setiap suku diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan rasio yang tetap.

Jika Anda hanya mempunyai beberapa suku dan belum mengetahui jenis polanya, gunakan Deteksi Pola.

Masukkan nilai yang diketahui lalu tekan Hitung. Kalkulator akan menampilkan suku ke-n, jumlah n suku pertama, pratinjau barisan, dan langkah perhitungannya.

Apa Perbedaan Barisan dan Deret?

Barisan adalah kumpulan bilangan yang disusun mengikuti aturan tertentu.

Contoh:

3, 7, 11, 15, 19, …

Sedangkan deret adalah hasil penjumlahan suku-suku dalam barisan.

Contoh:

3 + 7 + 11 + 15 + 19

Jadi pertanyaan tentang Uₙ dan Sₙ sebenarnya berbeda.

Uₙ mencari nilai suatu suku.

Sₙ mencari jumlah beberapa suku pertama.

Barisan Aritmatika

Barisan aritmatika memiliki beda yang sama antara dua suku berurutan.

Contoh:

5, 9, 13, 17, 21

Hitung selisihnya:

9 − 5 = 4

13 − 9 = 4

17 − 13 = 4

Karena selisihnya selalu sama, maka:

b = 4

Rumus Suku ke-n Aritmatika

Rumusnya:

Uₙ = a + (n − 1)b

Keterangan:

• a = suku pertama
• b = beda
• n = nomor suku
• Uₙ = suku ke-n

Misalnya:

a = 3
b = 4
n = 20

Maka:

U₂₀ = 3 + (20 − 1)4

= 3 + 76

= 79

Rumus Jumlah n Suku Aritmatika

Untuk mencari jumlah beberapa suku pertama:

Sₙ = n/2 × [2a + (n − 1)b]

Dengan:

a = 3
b = 4
n = 20

Maka:

S₂₀ = 20/2 × [2(3) + 19(4)]

= 10 × (6 + 76)

= 10 × 82

= 820

Jadi jumlah 20 suku pertama adalah 820.

Beda Bisa Positif, Negatif, atau Nol

Beda tidak harus positif.

Contoh:

20, 15, 10, 5, 0

Bedanya:

−5

Barisan tersebut tetap merupakan barisan aritmatika.

Barisan:

7, 7, 7, 7, …

juga termasuk aritmatika dengan:

b = 0

Barisan Geometri

Pada barisan geometri, hubungan antar suku ditentukan oleh rasio.

Contoh:

3, 6, 12, 24, 48

Rasionya:

6 ÷ 3 = 2

12 ÷ 6 = 2

24 ÷ 12 = 2

Jadi:

r = 2

Rumus Suku ke-n Geometri

Rumusnya:

Uₙ = arⁿ⁻¹

Misalnya:

a = 3
r = 2
n = 8

Maka:

U₈ = 3 × 2⁷

= 3 × 128

= 384

Rumus Jumlah n Suku Geometri

Jika r tidak sama dengan 1:

Sₙ = a(1 − rⁿ) / (1 − r)

Contoh:

a = 3
r = 2
n = 8

Maka:

S₈ = 3(1 − 2⁸) / (1 − 2)

= 3(1 − 256) / −1

= 765

Jika:

r = 1

semua suku bernilai sama sehingga:

Sₙ = a × n

Deret Geometri Tak Hingga

Tidak semua deret geometri mempunyai jumlah tak hingga yang berhingga.

Rumus:

S∞ = a / (1 − r)

hanya dapat digunakan jika:

|r| < 1

Misalnya:

12, 6, 3, 1,5, …

Pada barisan ini:

a = 12

r = 0,5

Maka:

S∞ = 12 / (1 − 0,5)

= 12 / 0,5

= 24

Mengapa |r| Harus Kurang dari 1?

Jika nilai absolut rasio kurang dari 1, setiap suku semakin kecil.

Contoh:

8, 4, 2, 1, 0,5, …

Nilainya semakin mendekati nol.

Karena itu jumlahnya dapat mendekati sebuah nilai tertentu.

Sebaliknya:

2, 4, 8, 16, 32, …

mempunyai:

r = 2

Nilainya terus membesar sehingga deret tak hingga tidak memiliki jumlah berhingga.

Cara Mencari Pola dari Beberapa Suku

Misalnya diberikan:

4, 9, 14, 19, 24

Periksa selisih:

9 − 4 = 5

14 − 9 = 5

19 − 14 = 5

Karena beda tetap:

b = 5

maka polanya aritmatika.

Sekarang perhatikan:

2, 6, 18, 54

Hitung rasio:

6 ÷ 2 = 3

18 ÷ 6 = 3

54 ÷ 18 = 3

Karena rasionya tetap:

r = 3

maka polanya geometri.

Mode Deteksi Pola pada kalkulator melakukan pemeriksaan tersebut secara otomatis.

Deteksi Pola Tidak Bisa Menebak Semua Barisan

Tidak semua barisan merupakan aritmatika atau geometri.

Contohnya:

1, 1, 2, 3, 5, 8, …

Ini merupakan pola Fibonacci.

Ada juga pola kuadrat:

1, 4, 9, 16, 25, …

dan banyak pola lainnya.

Beberapa aturan bahkan dapat menghasilkan suku awal yang sama.

Karena itu kalkulator ini sengaja hanya menyatakan pola ketika beda atau rasio benar-benar konsisten.

Hubungan Barisan Geometri dengan Pangkat

Rumus geometri:

Uₙ = arⁿ⁻¹

menggunakan operasi perpangkatan.

Misalnya:

2 × 3⁵

berarti nilai 3 dikalikan dengan dirinya sendiri sebanyak lima kali lalu dikalikan 2.

Jika Anda ingin menghitung operasi pangkat secara terpisah, gunakan kalkulator pangkat pada KalkulatorMatematika.id.

Hubungan Barisan Geometri dan Logaritma

Pada beberapa soal, suku yang diketahui dan nomor suku yang dicari dapat membuat variabel berada pada eksponen.

Misalnya:

2 × 3ⁿ⁻¹ = 486

Untuk mencari nilai n, kita dapat menggunakan logaritma.

Karena itu konsep barisan geometri juga berkaitan dengan logaritma, terutama ketika nomor suku tidak diketahui.

Apa itu kalkulator barisan dan deret?

Kalkulator barisan dan deret digunakan untuk menghitung suku ke-n, jumlah n suku pertama, serta barisan aritmatika dan geometri.

Apa rumus suku ke-n barisan aritmatika?

Rumusnya adalah Uₙ = a + (n − 1)b, dengan a sebagai suku pertama dan b sebagai beda.

Apa rumus jumlah n suku aritmatika?

Gunakan Sₙ = n/2 × [2a + (n − 1)b].

Apa rumus suku ke-n barisan geometri?

Rumusnya adalah Uₙ = arⁿ⁻¹, dengan a sebagai suku pertama dan r sebagai rasio.

Apa rumus jumlah deret geometri?

Untuk r ≠ 1, gunakan Sₙ = a(1 − rⁿ)/(1 − r).

Kapan deret geometri tak hingga dapat dihitung?

Jumlah deret geometri tak hingga memiliki nilai berhingga jika |r| < 1. Rumusnya adalah S∞ = a/(1 − r).

Apa perbedaan beda dan rasio?

Beda diperoleh dengan mengurangi dua suku berurutan pada barisan aritmatika. Rasio diperoleh dengan membagi dua suku berurutan pada barisan geometri.

Apakah beda boleh negatif?

Ya. Barisan seperti 10, 7, 4, 1 mempunyai beda −3 dan tetap merupakan barisan aritmatika.

Apakah rasio boleh negatif?

Ya. Contohnya 2, −4, 8, −16 mempunyai rasio −2.

Apakah kalkulator bisa mendeteksi pola?

Ya, kalkulator dapat memeriksa apakah beberapa suku membentuk pola aritmatika atau geometri sederhana.