Kalkulator Bilangan Kompleks – a+bi, Polar & Akar

Gunakan kalkulator bilangan kompleks untuk menghitung penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, modulus, argumen, konjugat, bentuk polar, pangkat, dan akar ke-n dari bilangan berbentuk a + bi. Anda juga dapat mengubah bentuk polar kembali menjadi bentuk kartesius dan melihat langkah perhitungannya.

Cara Menggunakan Kalkulator Bilangan Kompleks

Pilih jenis perhitungan yang ingin dilakukan.

Gunakan Operasi Dua Bilangan Kompleks untuk menghitung penjumlahan, pengurangan, perkalian, atau pembagian.

Masukkan bagian real dan imajiner dari:

z₁ = a + bi

dan:

z₂ = c + di

Jika hanya ingin mengetahui modulus, argumen, konjugat, atau bentuk polar sebuah bilangan, pilih Analisis Satu Bilangan Kompleks.

Untuk menghitung pangkat atau seluruh akar ke-n, gunakan mode Pangkat & Akar ke-n.

Mode Polar → a + bi digunakan untuk mengubah modulus dan sudut kembali ke bentuk kartesius.

Apa Itu Bilangan Kompleks?

Bilangan kompleks adalah bilangan yang mempunyai bagian real dan bagian imajiner.

Bentuk umumnya:

z = a + bi

dengan:

a = bagian real

b = koefisien bagian imajiner

i = unit imajiner.

Unit imajiner didefinisikan dengan:

i² = −1

Contoh:

3 + 4i

mempunyai bagian real 3 dan bagian imajiner 4.

Apa Itu i?

Dalam bilangan real, tidak ada angka real yang jika dikuadratkan menghasilkan −1.

Karena itu digunakan unit baru:

i = √−1

Sehingga:

i² = −1

Pangkat i berulang dengan pola:

i¹ = i

i² = −1

i³ = −i

i⁴ = 1

kemudian pola tersebut berulang kembali.

Bilangan Real sebagai Bilangan Kompleks

Bilangan kompleks tidak selalu harus mempunyai bagian imajiner yang terlihat.

Contoh:

5

dapat ditulis:

5 + 0i

Jadi seluruh bilangan real juga dapat dianggap sebagai bilangan kompleks dengan bagian imajiner nol.

Bilangan Imajiner Murni

Jika bagian realnya nol, bilangan disebut imajiner murni.

Contoh:

4i

sebenarnya:

0 + 4i

Begitu juga:

−7i

mempunyai real part 0 dan imaginary part −7.

Penjumlahan Bilangan Kompleks

Untuk menjumlahkan:

(a+bi)+(c+di)

gabungkan bagian real dengan bagian real dan bagian imajiner dengan bagian imajiner.

Rumus:

(a+c)+(b+d)i

Contoh:

(3+4i)+(1−2i)

Bagian real:

3 + 1 = 4

Bagian imajiner:

4 − 2 = 2

Hasil:

4 + 2i

Pengurangan Bilangan Kompleks

Rumus:

(a+bi)−(c+di)

= (a−c)+(b−d)i

Contoh:

(3+4i)−(1−2i)

= 2 + 6i.

Perhatikan tanda negatif pada bagian imajiner bilangan kedua.

Perkalian Bilangan Kompleks

Gunakan sifat distributif seperti perkalian aljabar biasa.

(a+bi)(c+di)

= ac + adi + bci + bdi².

Karena:

i² = −1

maka:

(a+bi)(c+di)

= (ac−bd)+(ad+bc)i

Contoh Perkalian

Hitung:

(3+4i)(1−2i)

Bagian real:

3×1 − 4×(−2)

= 3 + 8

= 11.

Bagian imajiner:

3×(−2) + 4×1

= −6 + 4

= −2.

Hasil:

11 − 2i

Pembagian Bilangan Kompleks

Pembagian dilakukan dengan menggunakan konjugat penyebut.

Misalnya:

(a+bi)/(c+di)

kalikan pembilang dan penyebut dengan:

c−di

Penyebut kemudian menjadi bilangan real:

c²+d²

Rumus Pembagian

Hasilnya:

[(ac+bd)+(bc−ad)i] / (c²+d²)

selama:

c+di ≠ 0

Pembagian dengan:

0+0i

tidak didefinisikan.

Contoh Pembagian

Hitung:

(3+4i)/(1−2i)

Kalikan dengan konjugat:

1+2i

Penyebut:

1² + (−2)²

= 5.

Pembilang:

(3+4i)(1+2i)

= −5 + 10i.

Bagi dengan 5:

−1 + 2i

Apa Itu Konjugat?

Konjugat dari:

z = a + bi

adalah:

z̄ = a − bi

Bagian real tetap sama.

Tanda bagian imajiner dibalik.

Contoh:

konjugat:

3+4i

adalah:

3−4i

Mengapa Konjugat Berguna?

Perkalian sebuah bilangan kompleks dengan konjugatnya menghasilkan bilangan real.

(a+bi)(a−bi)

= a² + b².

Contoh:

(3+4i)(3−4i)

= 9 + 16

= 25

Nilai ini juga sama dengan:

|z|²

Apa Itu Modulus?

Modulus menunjukkan jarak bilangan kompleks dari titik asal pada bidang kompleks.

Untuk:

z = a+bi

rumusnya:

|z| = √(a²+b²)

Konsepnya sama dengan Teorema Pythagoras.

Contoh Modulus

Untuk:

z = 3+4i

maka:

|z|

= √(3²+4²)

= √25

= 5

Artinya titik (3,4) berada sejauh 5 satuan dari titik asal.

Apa Itu Argumen?

Argumen adalah sudut bilangan kompleks terhadap sumbu real positif.

Biasanya ditulis:

arg(z) = θ

Untuk:

z = a+bi

hubungan dasarnya:

tan θ = b/a

Namun menggunakan hanya arctan(b/a) dapat salah menentukan kuadran.

Karena itu calculator menggunakan konsep atan2(b,a) agar posisi sudut mengikuti tanda a dan b.

Contoh Argumen

Untuk:

3+4i

sudutnya kira-kira:

53,1301°

atau:

0,9273 rad

Dengan modulus 5, bentuk polarnya menjadi:

5∠53,1301°

Bidang Kompleks

Bilangan kompleks dapat digambarkan pada bidang dua dimensi.

Sumbu horizontal menunjukkan bagian real.

Sumbu vertikal menunjukkan bagian imajiner.

Bilangan:

3+4i

dapat dipandang sebagai titik:

(3,4)

atau sebagai vektor dari titik asal menuju titik tersebut.

Bentuk Kartesius

Bentuk:

a+bi

disebut bentuk kartesius atau rectangular form.

Bentuk ini sangat nyaman untuk:

penjumlahan,

pengurangan,

dan melihat bagian real serta imajiner secara langsung.

Bentuk Polar

Bilangan kompleks juga dapat ditulis berdasarkan modulus dan sudut:

z = r(cos θ + i sin θ)

dengan:

r = |z|

dan:

θ = arg(z)

Bentuk ini sering lebih mudah untuk perkalian, pembagian, perpangkatan, dan akar.

Contoh Bentuk Polar

Untuk:

3+4i

modulus:

r = 5.

Argumen:

θ ≈ 53,1301°.

Maka:

3+4i = 5(cos53,1301° + i sin53,1301°)

atau singkat:

5∠53,1301°

Bentuk Eksponensial

Dengan rumus Euler:

e^(iθ) = cos θ + i sin θ

maka bentuk polar dapat ditulis:

z = re^(iθ)

Contoh:

3+4i

≈:

5e^(0,9273i)

Polar ke Bentuk a+bi

Jika diketahui:

r

dan:

θ

maka:

a = r cos θ

b = r sin θ

Sehingga:

z = r cos θ + i(r sin θ)

Contoh Polar ke Kartesius

Misalnya:

r = 5

θ ≈ 53,1301°.

Maka:

a = 5 cos53,1301°

≈ 3.

b = 5 sin53,1301°

≈ 4.

Jadi:

z ≈ 3+4i

Kebalikan Bilangan Kompleks

Untuk:

z = a+bi

kebalikannya:

1/z

dapat dicari dengan konjugat.

Rumus:

1/z = (a−bi)/(a²+b²)

selama z tidak sama dengan 0.

Contoh Kebalikan

Untuk:

3+4i

maka:

1/(3+4i)

= (3−4i)/25

= 0,12 − 0,16i

Pangkat Bilangan Kompleks

Bilangan kompleks dapat dipangkatkan seperti bilangan biasa.

Untuk pangkat kecil, perkalian langsung dapat digunakan.

Contoh:

(1+i)²

= 1 + 2i + i²

= 1 + 2i − 1

= 2i

Untuk pangkat lebih tinggi, bentuk polar sangat membantu.

Teorema De Moivre

Jika:

z = r(cos θ+i sin θ)

maka:

zⁿ = rⁿ[cos(nθ)+i sin(nθ)]

Formula ini disebut Teorema De Moivre.

Calculator menggunakan hubungan ini untuk menjelaskan perpangkatan dalam bentuk polar.

Contoh De Moivre

Jika:

z = 2(cos30° + i sin30°)

maka:

z³

= 2³[cos90° + i sin90°]

= 8i.

Sudut dikalikan dengan pangkat, sedangkan modulus dipangkatkan.

Akar Bilangan Kompleks

Bilangan kompleks umumnya memiliki beberapa akar ke-n.

Jika:

z = r(cos θ+i sin θ)

maka akar ke-n diberikan oleh:

zₖ = r^(1/n)[cos((θ+360°k)/n) + i sin((θ+360°k)/n)]

untuk:

k = 0,1,…,n−1

Mengapa Ada Banyak Akar?

Pada bilangan real kita sering memilih satu principal root.

Tetapi dalam bilangan kompleks:

zⁿ = w

umumnya mempunyai n akar kompleks berbeda jika w ≠ 0.

Akar-akar tersebut tersebar dengan jarak sudut yang sama pada lingkaran kompleks.

Akar Pangkat Tiga dari 1

Cari:

z³ = 1

Bilangan 1 mempunyai modulus 1 dan sudut 0°.

Akar-akarnya mempunyai sudut:

0°

120°

240°.

Jadi terdapat tiga akar kompleks.

Salah satunya adalah:

1

dan dua lainnya mempunyai bagian imajiner bukan nol.

Akar Kuadrat Bilangan Negatif

Bilangan kompleks memungkinkan kita menghitung:

√−4

Karena:

i² = −1

maka:

(2i)² = −4

Akar persamaan:

z² = −4

adalah:

2i

dan:

−2i

Hubungan dengan Persamaan Kuadrat

Persamaan:

x² + 1 = 0

memberikan:

x² = −1.

Dalam bilangan real tidak ada solusi.

Dalam bilangan kompleks:

x = ±i

Karena itu bilangan kompleks memungkinkan persamaan kuadrat tertentu tetap mempunyai akar.

Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat lengkap, gunakan Kalkulator Persamaan Kuadrat.

Diskriminan Negatif

Pada rumus kuadrat:

x = [−b ± √(b²−4ac)]/(2a)

jika diskriminannya negatif, akar mengandung bilangan imajiner.

Misalnya diskriminan:

−16

maka:

√−16 = 4i.

Ini merupakan hubungan penting antara persamaan kuadrat dan bilangan kompleks.

Hubungan dengan Trigonometri

Bentuk polar menggunakan:

sin θ

dan:

cos θ.

Argumen juga berkaitan dengan fungsi trigonometri invers.

Karena itu pemahaman sin, cos, atan, derajat, dan radian membantu ketika bekerja dengan bilangan kompleks.

Gunakan Kalkulator Trigonometri untuk fungsi sudut secara terpisah.

Hubungan dengan Pangkat dan Akar

Teorema De Moivre menggabungkan:

pangkat,

akar,

modulus,

dan sudut.

Untuk operasi pangkat bilangan real biasa, gunakan Kalkulator Pangkat.

Untuk akar real biasa, gunakan Kalkulator Akar Kuadrat & Pangkat-n.

Hubungan dengan Bentuk Eksponensial

Bentuk:

re^(iθ)

menggabungkan bilangan kompleks dengan eksponen.

Bentuk ini banyak digunakan dalam matematika lanjut, gelombang, sinyal, dan teknik.

Ini berbeda dari notasi ilmiah seperti:

1,2 × 10⁶

meskipun keduanya sama-sama menggunakan eksponen.

Bilangan Kompleks dalam Teknik

Bilangan kompleks sering muncul ketika sebuah besaran mempunyai magnitudo dan fase.

Contohnya dalam analisis rangkaian AC dan sinyal sinusoidal.

Bentuk polar berguna karena magnitudo dan sudut dapat terlihat secara langsung.

Namun calculator halaman ini fokus pada matematika bilangan kompleks, bukan kalkulator listrik khusus.

Bilangan Kompleks dalam Geometri

Karena bilangan kompleks dapat dipandang sebagai titik atau vektor pada bidang, perkalian dengan bilangan kompleks tertentu dapat merepresentasikan perubahan skala dan rotasi.

Dalam bentuk polar:

modulus memengaruhi skala,

sedangkan argumen memengaruhi rotasi.

Perkalian dalam Bentuk Polar

Jika:

z₁ = r₁∠θ₁

dan:

z₂ = r₂∠θ₂

maka:

z₁z₂ = r₁r₂ ∠ (θ₁+θ₂)

Jadi modulus dikalikan dan sudut dijumlahkan.

Inilah salah satu alasan bentuk polar sangat praktis.

Pembagian dalam Bentuk Polar

Untuk:

z₁/z₂

modulus dibagi:

r₁/r₂

dan sudut dikurangi:

θ₁−θ₂

selama z₂ ≠ 0.

Konjugat dalam Bentuk Polar

Jika:

z = r∠θ

maka konjugatnya mempunyai:

r∠(−θ)

Modulus tidak berubah.

Sudutnya hanya berlawanan arah.

Modulus dari Perkalian

Sifat penting:

|z₁z₂| = |z₁||z₂|

Begitu juga:

|z₁/z₂| = |z₁|/|z₂|

untuk z₂ ≠ 0.

Modulus Konjugat

Bilangan kompleks dan konjugatnya mempunyai modulus yang sama:

|z| = |z̄|

Karena mengubah tanda bagian imajiner hanya merefleksikan titik terhadap sumbu real.

Apa yang Terjadi pada z = 0?

Bilangan:

0+0i

mempunyai modulus:

0

Tidak mempunyai reciprocal karena pembagian dengan nol tidak diperbolehkan.

Argumen nol secara matematis tidak mempunyai satu nilai yang unik. Calculator menampilkan 0° sebagai konvensi tampilan praktis, bukan sebagai argumen unik secara matematis.

Derajat dan Radian

Sudut polar dapat ditulis dalam derajat atau radian.

Hubungannya:

180° = π rad

Contoh:

90° = π/2 rad.

Calculator menerima derajat atau radian ketika melakukan konversi polar ke bentuk kartesius.

Kesalahan yang Sering Terjadi

Menganggap i² = 1

Yang benar:

i² = −1

Menjumlahkan Real dan Imajiner Menjadi Satu

3 + 4i tidak sama dengan 7i atau 7.

Bagian real dan imajiner merupakan komponen berbeda.

Salah Mengalikan bi × di

Karena:

i² = −1

maka:

bi × di = −bd.

Membagi Tanpa Konjugat

Pada pembagian bentuk kartesius, konjugat membantu membuat penyebut menjadi real.

Menggunakan arctan(b/a) Tanpa Memeriksa Kuadran

Ini dapat memberikan arah yang salah.

atan2(b,a) lebih aman karena mempertimbangkan tanda kedua komponen.

Menganggap Hanya Ada Satu Akar Kompleks

Akar ke-n dari bilangan kompleks nonnol umumnya mempunyai n solusi.

Membagi dengan 0+0i

Operasi ini tidak didefinisikan.

Kalkulator Terkait

Gunakan Kalkulator Persamaan Kuadrat jika bilangan kompleks muncul sebagai akar persamaan kuadrat.

Gunakan Kalkulator Akar Kuadrat & Pangkat-n untuk akar bilangan real.

Gunakan Kalkulator Pangkat untuk perpangkatan real.

Gunakan Kalkulator Trigonometri untuk sin, cos, tan, dan fungsi invers.

Gunakan Kalkulator Notasi Ilmiah untuk angka sangat besar atau sangat kecil dalam bentuk pangkat 10.

Pertanyaan yang Sering Diajukan

Apa itu bilangan kompleks?

Bilangan kompleks adalah bilangan berbentuk a+bi, dengan a dan b bilangan real serta i² = −1.

Apa bagian real dari 3+4i?

3

Apa bagian imajiner dari 3+4i?

Koefisien imajinernya adalah 4.

Berapa i²?

−1

Berapa modulus 3+4i?

5

Apa konjugat 3+4i?

3−4i

Apa bentuk polar 3+4i?

Sekitar 5∠53,13°.

Bagaimana menjumlahkan bilangan kompleks?

Jumlahkan bagian real dengan real dan bagian imajiner dengan imajiner.

Bagaimana mengalikan bilangan kompleks?

Gunakan sifat distributif dan ingat bahwa i² = −1.

Bagaimana membagi bilangan kompleks?

Kalikan pembilang dan penyebut dengan konjugat penyebut.

Apakah akar bilangan negatif dapat dihitung?

Ya dalam bilangan kompleks. Contohnya √−4 menghasilkan ±2i sebagai solusi persamaan z² = −4.

Apa itu argumen?

Argumen adalah sudut bilangan kompleks terhadap sumbu real positif.

Apa itu Teorema De Moivre?

Teorema ini menyatakan bahwa jika z=r(cosθ+i sinθ), maka zⁿ=rⁿ(cos nθ+i sin nθ).

Berapa banyak akar ke-n yang dimiliki bilangan kompleks?

Bilangan kompleks nonnol mempunyai n akar ke-n kompleks yang berbeda.

Apakah calculator mendukung radian?

Ya, pada mode konversi polar.

Apakah calculator menghitung semua akar?

Ya. Mode akar menampilkan semua akar ke-n hingga n=12.