Kalkulator Persamaan Kuadrat – Akar, Diskriminan & Titik Puncak

Masukkan nilai a, b, dan c dari persamaan ax² + bx + c = 0 untuk mencari akar persamaan secara otomatis. Kalkulator juga menampilkan diskriminan, jenis akar, titik puncak parabola, sumbu simetri, serta langkah penyelesaian menggunakan Rumus ABC.

Cara Menggunakan Kalkulator Persamaan Kuadrat

Masukkan nilai a, b, dan c sesuai bentuk umum persamaan:

ax² + bx + c = 0

Sebagai contoh, persamaan:

x² − 5x + 6 = 0

memiliki:

• a = 1
• b = −5
• c = 6

Tekan Hitung Persamaan untuk melihat akar x₁ dan x₂, diskriminan, jenis akar, titik puncak, sumbu simetri, dan langkah penyelesaiannya.

Nilai a tidak boleh 0, karena jika a = 0 persamaan tidak lagi merupakan persamaan kuadrat.

Apa Itu Persamaan Kuadrat?

Persamaan kuadrat adalah persamaan dengan pangkat tertinggi variabelnya adalah dua.

Bentuk umumnya:

ax² + bx + c = 0

dengan:

• a sebagai koefisien x²,
• b sebagai koefisien x,
• c sebagai konstanta,
• dan a ≠ 0.

Contoh:

2x² + 3x − 2 = 0

Persamaan kuadrat dapat memiliki dua akar real, satu akar real kembar, atau dua akar kompleks.

Rumus ABC

Salah satu cara yang dapat digunakan untuk menyelesaikan hampir semua persamaan kuadrat adalah Rumus ABC:

x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a

Bagian:

b² − 4ac

disebut diskriminan.

Nilai diskriminan membantu kita mengetahui jenis akar bahkan sebelum akar tersebut dihitung.

Apa Itu Diskriminan?

Diskriminan ditulis sebagai:

D = b² − 4ac

Ada tiga kemungkinan.

Jika D > 0

Persamaan memiliki dua akar real yang berbeda.

Contoh:

x² − 5x + 6 = 0

D:

(−5)² − 4(1)(6)

= 25 − 24

= 1

Karena D > 0, ada dua akar real berbeda.

Jika D = 0

Persamaan memiliki akar real kembar.

Contoh:

x² − 4x + 4 = 0

D:

16 − 16 = 0

Akarnya:

x = 2

Jika D < 0

Persamaan tidak memiliki akar real. Solusinya berupa bilangan kompleks.

Contoh:

x² + 2x + 5 = 0

D:

4 − 20 = −16

Maka akar melibatkan bilangan imajiner i.

Contoh Menghitung Persamaan Kuadrat

Kita gunakan:

x² − 5x + 6 = 0

Nilainya:

a = 1
b = −5
c = 6

Hitung diskriminan:

D = b² − 4ac

D = (−5)² − 4(1)(6)

D = 25 − 24

D = 1

Gunakan Rumus ABC:

x = (5 ± √1) / 2

Akar pertama:

x₁ = (5 + 1) / 2 = 3

Akar kedua:

x₂ = (5 − 1) / 2 = 2

Jadi:

x₁ = 3 dan x₂ = 2

Cara Memfaktorkan Persamaan Kuadrat

Untuk persamaan yang mudah difaktorkan, akar juga dapat dicari menggunakan bentuk faktor.

Contoh:

x² − 5x + 6 = 0

Cari dua angka yang:

• jika dijumlahkan menghasilkan −5,
• jika dikalikan menghasilkan 6.

Angkanya adalah −2 dan −3.

Maka:

(x − 2)(x − 3) = 0

Sehingga:

x = 2 atau x = 3

Tidak semua persamaan memiliki faktorisasi sederhana, sehingga Rumus ABC lebih umum digunakan.

Titik Puncak Parabola

Persamaan kuadrat juga dapat ditulis sebagai fungsi:

y = ax² + bx + c

Grafiknya berbentuk parabola.

Koordinat x dari titik puncak dihitung menggunakan:

x = −b / 2a

Kemudian nilai x tersebut dimasukkan kembali ke fungsi untuk mendapatkan koordinat y.

Pada:

y = x² − 5x + 6

koordinat x titik puncak adalah:

5 / 2 = 2,5

Substitusi x = 2,5 menghasilkan:

y = −0,25

Jadi titik puncaknya:

(2,5 ; −0,25)

Apa Itu Sumbu Simetri?

Sumbu simetri adalah garis vertikal yang membagi parabola menjadi dua bagian yang simetris.

Rumusnya:

x = −b / 2a

Untuk:

x² − 5x + 6

sumbu simetrinya adalah:

x = 2,5

Posisi dua akar real juga berada secara simetris di kedua sisi garis ini.

Parabola Terbuka ke Atas atau ke Bawah?

Arah parabola ditentukan oleh tanda koefisien a.

Jika:

a > 0

parabola terbuka ke atas dan titik puncaknya merupakan nilai minimum.

Jika:

a < 0

parabola terbuka ke bawah dan titik puncaknya merupakan nilai maksimum.

Jumlah dan Hasil Kali Akar

Jika akar persamaan adalah x₁ dan x₂, kita tidak selalu harus menghitung keduanya terlebih dahulu untuk mengetahui jumlah atau hasil kalinya.

Gunakan:

x₁ + x₂ = −b/a

dan:

x₁ × x₂ = c/a

Untuk:

x² − 5x + 6 = 0

jumlah akar:

−(−5)/1 = 5

hasil kali:

6/1 = 6

Memang:

3 + 2 = 5

dan:

3 × 2 = 6

Kapan Persamaan Kuadrat Digunakan?

Persamaan kuadrat tidak hanya muncul dalam latihan aljabar.

Model kuadrat juga digunakan dalam berbagai situasi, misalnya:

• lintasan benda yang bergerak membentuk parabola,
• mencari nilai maksimum atau minimum,
• persoalan luas dan ukuran,
• model keuntungan atau biaya tertentu,
• serta analisis grafik fungsi kuadrat.

Dalam soal sekolah, yang paling sering diminta biasanya adalah akar persamaan, diskriminan, titik puncak, sumbu simetri, atau bentuk grafiknya.

Kesalahan yang Sering Terjadi

Lupa Tanda Negatif pada b

Pada Rumus ABC terdapat −b, sehingga jika b sendiri negatif, tandanya berubah.

Misalnya b = −5:

−b = −(−5) = 5

Salah Menghitung Diskriminan

Kerjakan bagian:

b² − 4ac

dengan hati-hati sebelum mengambil akar kuadratnya.

Menganggap Semua Persamaan Memiliki Dua Akar Real

Jika diskriminan negatif, akar persamaan berada dalam bilangan kompleks.

Menggunakan a = 0

Jika a = 0, bentuknya menjadi:

bx + c = 0

Itu merupakan persamaan linear, bukan persamaan kuadrat.

Kalkulator Terkait

Anda juga dapat menggunakan Kalkulator Sistem Persamaan Linear untuk SPLDV, Kalkulator Fungsi & Grafik untuk melihat bentuk fungsi secara visual, Kalkulator Akar Kuadrat untuk perhitungan akar, dan Kalkulator Pangkat untuk operasi bilangan berpangkat.

Pertanyaan yang Sering Diajukan

Apa rumus persamaan kuadrat?

Rumus yang umum digunakan adalah x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a.

Apa fungsi diskriminan?

Diskriminan menentukan jenis akar persamaan. D > 0 menghasilkan dua akar real berbeda, D = 0 menghasilkan akar kembar, sedangkan D < 0 menghasilkan akar kompleks.

Apakah kalkulator bisa menghitung akar kompleks?

Ya. Jika diskriminan negatif, kalkulator menampilkan akar dalam bentuk yang melibatkan bilangan imajiner i.

Apakah nilai a boleh 0?

Tidak untuk persamaan kuadrat. Jika a = 0, persamaan berubah menjadi persamaan linear.

Apakah angka negatif dapat digunakan?

Ya. Nilai a, b, maupun c dapat berupa angka positif atau negatif.

Apakah angka desimal dapat dimasukkan?

Ya. Kalkulator dapat menerima angka desimal dan juga koma desimal seperti 1,5.

Bagaimana mencari titik puncak parabola?

Koordinat x titik puncak dihitung dengan −b/2a, kemudian nilai tersebut dimasukkan ke fungsi untuk mendapatkan koordinat y.