Kalkulator Permutasi dan Kombinasi Online

Gunakan kalkulator permutasi dan kombinasi untuk menghitung nPr, nCr, faktorial n!, serta jumlah susunan atau pilihan ketika pengulangan diperbolehkan. Semua hasil dihitung sebagai bilangan bulat eksak, sehingga angka besar tidak dibulatkan. Kalkulator juga menjelaskan kapan urutan penting dan hubungan antara permutasi, kombinasi, serta faktorial.

Cara Menggunakan Kalkulator Permutasi dan Kombinasi

Pilih mode Bandingkan nPr & nCr jika ingin menghitung permutasi dan kombinasi secara bersamaan.

Masukkan jumlah total item sebagai n, kemudian masukkan jumlah item yang dipilih sebagai r.

Contoh:

n = 10

r = 3

Kalkulator akan menghitung:

P(10,3)

C(10,3)

10!

3!

dan:

(10−3)!

Gunakan mode Dengan Pengulangan jika sebuah item boleh dipilih lebih dari satu kali.

Gunakan mode Faktorial n! jika hanya ingin menghitung faktorial suatu bilangan.

Apa Itu Faktorial?

Faktorial adalah perkalian sebuah bilangan bulat positif dengan seluruh bilangan bulat positif di bawahnya sampai 1.

Notasinya:

n!

Contoh:

5!

= 5 × 4 × 3 × 2 × 1

= 120

Contoh Faktorial

Beberapa nilai faktorial dasar:

0! = 1

1! = 1

2! = 2

3! = 6

4! = 24

5! = 120

6! = 720

10! = 3.628.800

Faktorial tumbuh sangat cepat ketika nilai n bertambah.

Mengapa 0! = 1?

Secara definisi dalam kombinatorika:

0! = 1

Salah satu alasannya dapat dilihat dari rumus:

n! = n × (n−1)!

Untuk n = 1:

1! = 1 × 0!

Karena 1! = 1:

1 = 1 × 0!

maka:

0! = 1

Definisi ini juga membuat rumus kombinasi bekerja secara konsisten.

Apa Itu Permutasi?

Permutasi menghitung jumlah cara memilih dan menyusun item ketika urutan penting.

Notasinya:

P(n,r)

atau:

nPr

Rumusnya:

P(n,r) = n! / (n−r)!

Contoh Permutasi

Misalkan ada 10 peserta dan ingin menentukan:

juara 1,

juara 2,

dan juara 3.

Karena posisi juara berbeda, urutan penting.

Gunakan:

P(10,3)

= 10! / 7!

= 10 × 9 × 8

= 720

Ada 720 kemungkinan susunan podium.

Mengapa Urutan Penting pada Permutasi?

Bayangkan memilih A, B, dan C.

Susunan:

ABC

berbeda dari:

BAC

dan:

CAB.

Walaupun tiga orangnya sama, posisinya berbeda.

Karena itu setiap urutan dihitung sebagai hasil berbeda.

Apa Itu Kombinasi?

Kombinasi menghitung jumlah cara memilih item ketika urutan tidak penting.

Notasinya:

C(n,r)

atau:

nCr

Rumus:

C(n,r) = n! / [r!(n−r)!]

Contoh Kombinasi

Misalkan dari 10 orang ingin dipilih 3 orang untuk menjadi anggota sebuah kelompok.

Tidak ada posisi juara atau jabatan berbeda.

Kelompok:

A, B, C

sama dengan:

C, B, A.

Karena urutan tidak penting, gunakan:

C(10,3)

= 10! / (3! × 7!)

= 120

Jadi terdapat 120 kelompok berbeda.

Perbedaan Permutasi dan Kombinasi

Pertanyaan terpenting adalah:

Apakah urutan penting?

Jika ya:

gunakan permutasi.

Jika tidak:

gunakan kombinasi.

Contoh permutasi:

podium lomba,

kode,

susunan kursi,

urutan presentasi.

Contoh kombinasi:

memilih anggota tim,

memilih kartu,

memilih beberapa menu,

memilih siswa untuk kelompok.

Hubungan nPr dan nCr

Permutasi dan kombinasi mempunyai hubungan:

P(n,r) = C(n,r) × r!

Mengapa?

Setiap kelompok berisi r item dapat disusun dalam:

r!

urutan berbeda.

Contoh:

C(10,3) = 120

3! = 6

Maka:

120 × 6 = 720

dan:

P(10,3) = 720

Contoh 5P2

Gunakan:

P(5,2)

= 5! / 3!

= 5 × 4

= 20

Ada 20 cara memilih dan mengurutkan 2 item dari 5.

Contoh 5C2

Gunakan:

C(5,2)

= 5! / (2! × 3!)

= 10

Jadi terdapat 10 pasangan berbeda.

Mengapa 5P2 Lebih Besar dari 5C2?

Setiap pasangan dapat disusun dua cara.

Contoh:

AB

dan:

BA.

Karena:

2! = 2

maka:

5P2 = 5C2 × 2

= 10 × 2

= 20

Apa Arti n dan r?

Pada permutasi dan kombinasi:

n adalah jumlah total item yang tersedia.

r adalah jumlah item yang dipilih.

Untuk pemilihan tanpa pengulangan:

0 ≤ r ≤ n

Jika terdapat 10 orang dan memilih 3:

n = 10

r = 3.

Bagaimana Jika r = 0?

Secara matematis:

C(n,0) = 1

Ada satu cara memilih nol item: memilih tidak ada apa pun.

Begitu juga:

P(n,0) = 1

Rumus tetap bekerja karena:

0! = 1.

Bagaimana Jika r = n?

Untuk kombinasi:

C(n,n) = 1

karena hanya ada satu cara memilih seluruh item.

Untuk permutasi:

P(n,n) = n!

karena seluruh item disusun.

Contoh:

P(5,5)

= 5!

= 120

Apa Itu Pengulangan?

Pengulangan berarti item yang sama boleh digunakan lebih dari satu kali.

Misalnya PIN 4 digit.

Setiap posisi dapat berisi angka:

0 sampai 9.

Digit yang sama boleh muncul lagi.

Contoh:

1111

atau:

2020

tetap valid jika sistem mengizinkan pengulangan.

Permutasi dengan Pengulangan

Jika terdapat n pilihan untuk setiap posisi dan terdapat r posisi:

jumlah = n^r

Contoh:

10 digit

4 posisi

Maka:

10⁴ = 10.000

kemungkinan.

Contoh Password Sederhana

Misalnya tersedia 26 huruf dan ingin membuat kode 3 huruf.

Jika huruf dapat diulang dan urutan penting:

26³

= 17.576

Contoh:

ABC

berbeda dari:

CBA.

AAA juga diizinkan jika pengulangan diperbolehkan.

Kombinasi dengan Pengulangan

Jika urutan tidak penting dan item boleh dipilih berulang, rumusnya:

C(n+r−1,r)

Contoh:

terdapat 10 jenis item.

Anda ingin memilih 4 item dan jenis yang sama boleh dipilih beberapa kali.

Maka:

C(10+4−1,4)

= C(13,4)

= 715

Empat Kasus Dasar

Ada empat kombinasi pertanyaan utama.

Urutan penting, tanpa pengulangan

Gunakan:

nPr

Urutan tidak penting, tanpa pengulangan

Gunakan:

nCr

Urutan penting, pengulangan boleh

Gunakan:

n^r

Urutan tidak penting, pengulangan boleh

Gunakan:

C(n+r−1,r)

Menentukan dua hal—urutan dan pengulangan—biasanya cukup untuk memilih rumus yang benar.

Contoh Kartu

Satu set kartu standar mempunyai:

52 kartu

Jika memilih 5 kartu dan urutan pengambilan tidak penting:

C(52,5)

= 2.598.960

Ini menghitung jumlah tangan 5 kartu yang berbeda.

Jika urutan kelima kartu dianggap penting, jumlahnya jauh lebih besar dan menggunakan permutasi.

Contoh Memilih Anggota Tim

Ada 12 orang dan ingin memilih 5 anggota tim.

Jika semua posisi setara:

gunakan:

C(12,5)

Jika lima orang tersebut kemudian diberi lima jabatan berbeda:

gunakan:

P(12,5)

Perbedaan konteks mengubah rumus meskipun n dan r sama.

Contoh Juara Lomba

Ada 8 pelari.

Ingin menentukan juara:

1,

2,

Karena urutan finish penting:

P(8,3)

= 8 × 7 × 6

= 336

Contoh Panitia

Ada 8 orang.

Pilih 3 orang sebagai anggota panitia tanpa jabatan khusus.

Gunakan:

C(8,3)

= 56

Jika kemudian ketiganya akan menjadi ketua, sekretaris, dan bendahara, gunakan permutasi.

Faktorial pada Permutasi

Rumus:

P(n,r) = n!/(n−r)!

Tidak selalu perlu menghitung seluruh n!.

Contoh:

P(100,3)

= 100!/97!

Sebagian besar faktor saling membatalkan.

Tersisa:

100 × 99 × 98

Ini jauh lebih sederhana daripada menghitung 100! terlebih dahulu.

Calculator juga menghitung nPr langsung dengan mengalikan hanya faktor yang dibutuhkan.

Faktorial pada Kombinasi

Rumus:

C(n,r) = n!/[r!(n−r)!]

Secara komputasi, calculator menggunakan bentuk yang menghindari factorial besar yang tidak perlu.

Ini membantu menghasilkan bilangan bulat exact untuk nilai n yang cukup besar.

Simetri Kombinasi

Kombinasi mempunyai sifat:

C(n,r) = C(n,n−r)

Contoh:

C(10,3) = C(10,7)

Keduanya:

120

Memilih 3 orang yang masuk kelompok sama dengan menentukan 7 orang yang tidak masuk kelompok.

Faktorial Tumbuh Sangat Cepat

Contoh:

10! = 3.628.800

20! = 2.432.902.008.176.640.000

Nilai terus bertambah sangat cepat.

Karena itu calculator menggunakan bilangan bulat BigInt daripada Number JavaScript biasa untuk hasil kombinatorika.

Mengapa BigInt Penting?

JavaScript Number tidak dapat menyimpan semua bilangan bulat yang sangat besar secara exact.

Permutasi, kombinasi, dan faktorial dapat melewati batas tersebut dengan cepat.

Dengan BigInt, calculator dapat mempertahankan seluruh digit hasil selama masih dalam batas input calculator.

Jumlah Digit Faktorial

Mode Faktorial juga menunjukkan berapa banyak digit pada hasil.

Misalnya:

5! = 120

mempunyai:

3 digit

100! mempunyai jauh lebih banyak digit.

Ini membantu memahami seberapa cepat fungsi faktorial bertumbuh.

Nol di Akhir Faktorial

Calculator juga menghitung jumlah trailing zeros atau nol berturut-turut di akhir n!.

Nol muncul dari faktor:

10 = 2 × 5

Dalam faktorial, faktor 2 sangat banyak sehingga jumlah nol terutama ditentukan oleh jumlah faktor 5.

Contoh:

10!

berakhir dengan:

2 nol

karena:

10! = 3.628.800

Contoh Nol di Akhir 100!

Jumlah faktor 5:

floor(100/5) = 20

Tambahan faktor 5 dari kelipatan 25:

floor(100/25) = 4

Total:

20 + 4 = 24

Jadi:

100! mempunyai 24 nol di bagian akhir.

Permutasi dan Kombinasi dalam Probabilitas

Kombinasi dan permutasi sering digunakan saat menghitung banyaknya kemungkinan hasil.

Namun halaman ini fokus pada menghitung jumlah susunan atau pilihan, bukan langsung menghitung probabilitas.

Ini penting agar intent calculator tetap jelas.

Jika sebuah soal meminta peluang, hasil kombinasi dapat menjadi salah satu bagian dari rumus probabilitas.

Permutasi Huruf

Misalnya terdapat tiga huruf berbeda:

A, B, C.

Jumlah susunan seluruh huruf:

3!

= 6.

Susunannya:

ABC

ACB

BAC

BCA

CAB

CBA.

Jika terdapat huruf yang sama, rumusnya dapat berbeda karena beberapa susunan menjadi identik.

Item yang Sama atau Berulang

Formula nPr standar menganggap n item yang tersedia berbeda satu sama lain.

Jika objek awal mempunyai elemen identik—misalnya huruf berulang dalam sebuah kata—dibutuhkan rumus permutasi multiset.

Page ini fokus pada nPr/nCr standard dan selection-with-repetition.

Jangan menggunakan nPr standard untuk menghitung susunan huruf identik tanpa menyesuaikan duplikasi.

Kesalahan yang Sering Terjadi

Menggunakan Permutasi Saat Urutan Tidak Penting

Jika ABC dianggap sama dengan CBA, gunakan kombinasi.

Menggunakan Kombinasi untuk Juara 1, 2, dan 3

Posisi juara berbeda, sehingga urutan penting dan harus menggunakan permutasi.

Membiarkan r Lebih Besar dari n Tanpa Pengulangan

Jika tidak boleh memilih item yang sama lagi:

r ≤ n

Lupa Menentukan Apakah Pengulangan Diperbolehkan

PIN dan password sering mengizinkan pengulangan, sementara memilih orang untuk sebuah tim biasanya tidak.

Menganggap n! Sama dengan n^n

Tidak.

Contoh:

5! = 120

sedangkan:

5⁵ = 3125.

Menganggap 0! = 0

Yang benar:

0! = 1

Kalkulator Terkait

Gunakan Kalkulator Perkalian untuk operasi perkalian angka umum.

Gunakan Kalkulator Pembagian untuk pembagian dan sisa.

Gunakan Kalkulator Pangkat untuk menghitung n^r secara lebih umum.

Gunakan Kalkulator Rasio untuk perbandingan dan proporsi.

Pertanyaan yang Sering Diajukan

Apa itu faktorial?

Faktorial n adalah hasil perkalian seluruh bilangan bulat positif dari n sampai 1.

Berapa 5!?

120.

Berapa 0!?

1.

Apa itu nPr?

nPr adalah jumlah cara memilih dan menyusun r item dari n ketika urutan penting.

Apa rumus permutasi?

P(n,r) = n!/(n−r)!

Apa itu nCr?

nCr adalah jumlah cara memilih r item dari n ketika urutan tidak penting.

Apa rumus kombinasi?

C(n,r) = n!/[r!(n−r)!]

Berapa 10P3?

720.

Berapa 10C3?

120.

Apa perbedaan nPr dan nCr?

nPr memperhatikan urutan, nCr tidak.

Apa hubungan permutasi dan kombinasi?

P(n,r) = C(n,r) × r!

Apa rumus jika pengulangan diperbolehkan dan urutan penting?

n^r

Apa rumus kombinasi dengan pengulangan?

C(n+r−1,r)

Apakah calculator bisa menghitung angka besar?

Ya. Calculator menggunakan BigInt dan menampilkan hasil eksak hingga batas input yang ditetapkan.

Mengapa hasil factorial sangat panjang?

Faktorial bertumbuh sangat cepat karena setiap kenaikan n menambahkan faktor perkalian baru.